Question

【题目】如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．

Answer 1

【答案】证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵AE∥BD，

∴四边形AOGE是矩形，

∴EG=AO= AC= BD= BE，

∴∠EBD=30°，

∵∠EBD=30°，BE=BD，

∴∠BED=75°，

∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DF=DE．

【解析】连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD垂足为G，先证明四边形AOGE是矩形，从而可得到EG=BD=BE，从而可求得∠EBD=30°，接下来可求得∠BED=75°，然后再依据∠EFD=∠FDB+∠EBD求得∠EFD的度数，故∠DEF=∠DFE，最后，依据等边对等角的性质进行证明即可.
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半才能正确解答此题．