Question

【题目】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：

①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．

②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；

（3）问题解决：

如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG，GE，已知AC=2，AB=5．求GE的长度．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析 （2）①，证明见解析；②四边形FMAN是矩形，证明见解析 （3）

【解析】

（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得，再根据△ABD和△ACE是等腰三角形，可得，再由（1）可得，，从而判定四边形FMAN是矩形；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．

（1）四边形ABCD是垂美四边形

连接AC、BD

∵

∴点A在线段BD的垂直平分线上

∵

∴点C在线段BD的垂直平分线上

∴直线AC是线段BD的垂直平分线

∴

∴四边形ABCD是垂美四边形；

（2）①，理由如下

如图，已知四边形ABCD中，，垂足为E

由勾股定理得

②四边形FMAN是矩形，理由如下

如图，连接AF

∵在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点

∵△ABD和△ACE是等腰三角形

由（1）可得，

∵

∴四边形FMAN是矩形；

（3）连接CG、BE，

，即

在△AGB和△ACE中

∵

，即

∴四边形CGEB是垂美四边形

由（2）得

．