Question

【题目】在△ABC中，点D在AB边上，AD=CD，DE⊥AC于点E，CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是菱形；

（2）如图2，当∠ACB=90°，∠B=30°时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中与线段AC相等的线段（线段AC除外）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵AD=CD，DE⊥AC，

∴∠DCA=∠ADC，CE=AE，

∵CF∥AB，

∴∠ECF=∠EAD，

∴∠DCA=∠ECF，

即CE平分∠DCF，

而CE⊥DF，

∴CD=CF，

∴AD∥CF，

∴四边形ADCF为平行四边形，

而DA=DC，

∴四边形ADCF是菱形

（2）解：如图2，∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

而DA=DC，

∴△ADC为等边三角形，

∴AC=AD=CD，∠ACD=60°，

∵四边形ADCF为菱形，

∴AC=AD=DC=CF=AF，

∵∠B=∠DCB=30°，

∴BD=CD，

∴AC=AD=DC=CF=AF=BD

【解析】（1）如图1，利用等腰三角形的性质得∠DCA=∠ADC，CE=AE，再利用CF∥AB得到∠ECF=∠EAD，则∠DCA=∠ECF，于是根据等腰三角形的判定方法可得CD=CF，所以四边形ADCF为平行四边形，
加上DA=DC可判断四边形ADCF是菱形；（2）如图2，先证明△ADC为等边三角形得到AC=AD=CD，∠ACD=60°，再利用菱形的性质可得AC=AD=DC=CF=AF，然后证明BD=CD即可．