Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，

∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，

∴△MND∽△CNB，

∴ ，

∵M为AD中点，

∴MD= AD= BC，即 = ，

∴ = ，即BN=2DN，

设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，

∴x+1=2（x﹣1），

解得：x=3，

∴BD=2x=6；

（2）解：∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，

∴MN：CN=DN：BN=1：2，

∴S△MND= S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．

∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6

∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．

【解析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND ， 最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．