Question

【题目】已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．

(1)如图 (1)所示，当P在线段AB上时，求证：PA·PB＝PE·PF；

(2)如图 (2)所示，当P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）对谁成立，证明见解析

【解析】

（1）利用圆周角、弦切角间的关系证明△APF∽△BPE，根据相似三角形的性质证明 PAPB=PEPF 成立．

（2）当点P在线段BA的延长线上时，（1）的结论仍成立．先证明∠AFP=∠PBE，再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，根据成比例线段证明 PAPB=PEPF 成立．

证明：(1) 如图1，连接 延长与圆交于

∵EB为⊙O的切线，

为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ABE，

∵EF∥BC，

∴∠AFP=∠ACB，

故∠AFP=∠ABE．

∠APF=∠EPB，

∴△APF∽△BPE，

∴PAPB=PEPF．

(2)结论成立，理由如下：

∵EB为⊙O的切线，结合（1）问：

∴∠ACB=∠ABT，

∵EF∥BC，

∴∠ACB =∠AFP，

∴∠AFP=∠PBE．

∠BPE=∠FPA，

△PAF∽△PEB，

∴PAPB=PEPF．

当点P在线段BA的延长线上时，（1）的结论仍成立．