Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，点0是△ABC内一点，△AB0△ACD，连接OD.

（1）求证△AOD为等边三角形。

（2）如图2，连接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=.

①求∠OCD的度数

②当△OCD是等腰三角形时，求∠的度数

、

Answer 1

【答案】（1）见解析;.（2）①∠OCD=70°；②可以是130°，100°，115°.

【解析】

（1）根据全等三角形得到AO=AD，∠BAO=∠CAD，由∠BAC=60°，求得∠OAD=60°，即可得到结论；

（2）①根据△AOD为等边三角形，求得∠AOD=∠ADO=60°，求得∠DOC=360°-α-130°-60°=170°-α，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AOB=α，于是得到∠OCD=180°-∠DOC-∠ODC=70°；②当△OCD是等腰三角形时，（Ⅰ）当OD=OC，由∠DOC=170°-α，得到∠OCD=∠ODC= α+5°，列方程得到α=130°（Ⅱ）当OD=CD，于是得到∠OCD=∠COD=170°-α；求得∠ODC=180°-2×170°+2α=2α-160°，列方程即可得到α=100°；（Ⅲ）当OC=CD，于是得到∠ODC=∠COD=170°-α，列方程即可得到α=115°．

（1）证明：∵△ABO≌△ACD

∴∠OAB=∠CAD

∴AO=AD

∴∠OAB+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°

△AOD为等边三角形.

(2)①∵△AOD为等边三角形，

∴∠AOD=∠ADO=60°，

∵∠BOC=130°，∠AOB=∠α，

∴∠DOC=360°α130°60°=170°α，

∵△ABO≌△ACD，

∴∠ADC=∠AOB=α，

∴∠ODC=α60°，

∴∠OCD=180°∠DOC∠ODC=70°；

②当△OCD是等腰三角形时，

(Ⅰ)当OD=OC,∵∠DOC=170°α，

∴∠OCD=∠ODC=α+5°，

∴60°+α+5°=α，

解得：α=130°

(Ⅱ)当OD=CD,∴∠OCD=∠COD=170°α；

∴∠ODC=180°2×170°+2α=2α160°，

∴60°+2α160°=α，

解得：α=100°；

(Ⅲ)当OC=CD,∴∠ODC=∠COD=170°α，

∴170°α+60°=α，

解得：α=115°.

综上所述：当△OCD是等腰三角形时,∠α的度数为：130°,100°,115°.