Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．

（1）证明：EG＝EH；（2）证明：四边形EHFG是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）利用EG是△ABD的中位线，EH是△ADC的中位线，则有EG＝AB，EH＝CD，又AB＝CD，可证EG＝EH，即可解题.

（2）首先运用三角形中位线定理可得到EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，FE∥DC，从而再根据平行于同一条直线的两直线平行得到GF∥EH，GE∥FH，可得到GFHE是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．

解：证明：（1）∵四边形ABCD中，点F、E、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，

∴EG是△ABD的中位线，EH是△ADC的中位线，

∴EG＝AB，EH＝CD，

∵AB＝CD，

∴EG＝EH；

（2）∵四边形ABCD中，点F、E、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，

∴EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，FE∥DC，

∴GF∥EH，GE∥FH（平行于同一条直线的两直线平行）；

∴四边形GFHE是平行四边形，

∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，

∴EG是△ABD的中位线，GF是△BCD的中位线，

∴GE＝AB，GF＝CD，

∵AB＝CD，

∴GE＝GF，

∴四边形EHFG是菱形．