Question

【题目】(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD＋CE.

(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

图1 图2

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、成立；理由见解析.

【解析】

试题分析：(1)、根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得出∠BDA＝∠AEC＝90°，然后根据∠BAC＝90°得出∠DBA＝∠EAC，从而说明△ABD和△CAE全等，得出BD＝AE，AD＝CE，从而得出答案；(2)、根据∠BDA＝α得出∠DBA+∠BAD＝180°－α，根据∠BAC =α得出∠BAD+∠EAC＝180°－α，从而说明∠DBA ＝∠EAC，然后得出△ABD和△CAE全等，从而得出BD＝AE，AD＝CE，然后得出答案.

试题解析：(1)、∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D、E ∴∠BDA＝∠AEC＝90°

∴∠DBA+∠BAD＝90° ∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠EAC＝90° ∴∠DBA＝∠EAC

在△ABD与△CAE中 ∵ ∴△ABD≌△CAE

∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD

(2)、结论DE＝BD+CE成立

在△ABD中，∵∠BDA＝α ∴∠DBA+∠BAD＝180°－α ∵∠BAC =α ∴∠BAD+∠EAC＝180°－α

∴∠DBA ＝∠EAC

在△ABD与△CAE中，∵ ∴△ABD≌△CAE ∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD