Question

【题目】如图，已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 上一点，∠ 的平分线交⊙ 于点 ，交⊙ 的切线 于点 ，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ．

（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若 ．求 值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连结OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAF=∠DAO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠DAF=∠ODA，

∴AF∥OD，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线，

（2）解：①连接BD，

∵直径AB，∴∠ADB=90°，∵圆O与BE相切，∴∠ABE=90°，∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，∴∠DAB=∠DBE，∴∠DBE=∠FAD，∵∠BDE=∠AFD=90°，∴△BDE∽△AFD，∴

②连接OC，交AD于G，

由①，设BE=2x，则AD=3x，

∵△BDE∽△ABE，

∴ ，

∴ ，

解得：x1=2，x2=- （不合题意，舍去），

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，

∴sin∠EAB= ，

∴∠EAB=30°，

∴∠FAB=60°

【解析】（1）由AD平分∠BAC和OA=OD，得到∠DAF=∠ODA，根据内错角相等两直线平行，得到AF∥OD，由DF⊥AC，得到DF是⊙O的切线；（2）由直径AB，得到∠ADB=90°，由BE是圆O的切线和同角的余角相等，得到∠DAB=∠DBE，∠DBE=∠FAD，根据两角对应相等两三角形相似，得到△BDE∽△AFD，得到比例，求出比值.