Question

【题目】（1）如图1，在四边形中，，、分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，证明：．

请将证明的过程填写完整：

证明：连接，取的中点，连接、．

是的中点，是的中点，

________，_______，同理：_______，_______，

，，

又，，，．

（2）运用上题方法解决下列问题：

问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，，、分别是、的中点，连接，分别交、于点、，请判断的形状，并说明理由；

问题二：如图3，在钝角中，，点在上，、分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，是直角三角形且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）△OMN为等腰三角形，理由见详解；（3）见详解

【解析】

（1）根据题目已知条件补充完整即可；

解：（1）证明：连接，取的中点，连接、．

是的中点，是的中点，

，，同理：，，

，，

又，

，

，

．

故答案为：；；；；

（2）△OMN为等腰三角形；

证明：取AC中点P，连接PF，PE，

可知PE=，PE∥AB，

∴∠PEF=∠ANF，

同理PF=，

PF∥CD，

∴∠PFE=∠CME，

又PE=PF，

∴∠PFE=∠PEF，

∴∠OMN=∠ONM，

∴△OMN为等腰三角形；

（3）如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，

∵F是AD的中点，

∴HF∥AB， HF=

同理，HE∥CD，HE=

∵GF为直角三角形斜边上的中线

∴

∵

∴△AGF是等边三角形

∴∠AGF=∠EFC=∠HFE=60°

∵

∴

∴

∴．