Question

【题目】如图1，直线与直线交于点，．小明将一个含的直角三角板如图1所示放置，使顶点落在直线上，过点作直线交直线于点(点在左侧)．

（1）若，，则__________．

（2）若的角平分线交直线于点，如图2．

①当，时，求证：．

②小明将三角板保持并向左平移，运动过程中，__________．(用表示)．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）①详见解析；②或；

【解析】

（1）根据平行线性质可得，再根据平行线性质得；

（2）①根据平行线性质得，，结合角平分线定义可证，得，根据平行线传递性可再证；

②分两种情况当Q在H的右侧时，根据平行线性质可得∠BPD=∠BOC=α，∠MQP=∠QPB=60°+α，根据角平分线性质∠MQE=（60°+α），故∠PEQ=∠MQE；当Q在H的右侧时，与上面同理，∠NQE=（180°-60°-α），∠PEQ=∠NQE．

（1）由，,可得，

而，则有．

故

（2）

∵，，∴，

又∵，∴，

又∵平分，∴，

又∵，∴，

且，∴，∴，

∵，∴．

②当Q在H的右侧时，

∵PD∥OC

∴∠BPD=∠BOC=α

∵MN∥AB

∴∠MQP=∠QPB=60°+α

又∵QE平分∠MQP

∴∠MQE=（60°+α）=30°+α

∴∠PEQ=∠MQE=30°+α

当Q在H的左侧时

∵PD∥OC

∴∠BPD=∠BOC=α

∵MN∥AB

∴∠NQP=180°-60°-α

又∵QE平分∠NQP

∠NQE=（180°-60°-α）=60°-α

∴∠PEQ=∠NQE=60°-α

∴或．