Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在AC、BC上，且CDBC=ACCE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．
（1）求证：AC是⊙E的切线．
（2）若AF=4，CG=5，求⊙E的半径；
（3）若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE= ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CDBC=ACCE，

∴ ，

∵∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC=∠A=90°，

∴ED⊥AC，

∵点D在⊙E上，

∴AC是⊙E的切线

（2）①如图1，

过E作EH⊥AB于H，

∴BH=FH，

∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，

∴四边形AHED是矩形，

∴ED=AH，ED∥AB，

∴∠B=∠DEC，

设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，

∴BH=FH=AH﹣AF=DE﹣AF=r﹣4，

EC=EG+CG=r+5，

在△BHE和△EDC中，

∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，

∴△BHE∽△EDC，

∴ ，即 ，

∴r=20，

∴⊙E的半径为20

（3）
【解析】如图2
过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，
由（2）得：FH=BH=r﹣4=20﹣4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC= =27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM= = =9，
∴AH=IM=9，
∴BH=BM=36﹣9=27，
∴EM=27﹣20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE= = = ，
所以答案是： ．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形的内切圆与内心的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心才能正确解答此题．