Question

【题目】如图1，已知直线y=kx与抛物线y= 交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=

（2）

解：方法一：

是一个定值，理由如下：

如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时 =tan∠AOM=2；

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…，

∴ =tan∠AOM=2，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 =2

方法二：

过点Q分别作y轴，x轴垂线，垂足分别为G，H，

∵QN⊥QM，∴∠NQH+∠HQM=90°，

∵QG⊥QH，∴∠NQH+∠GQN=90°，

∴∠HQM=∠GQN，

∵∠QGN=∠QHM=90°，

∴△QGN∽△QHM，

∴QM：QN=2：1

（3）

解：方法一：如答图2，

延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC= OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴ ，

∴OF= ，

∴点F（ ，0），

设点B（x，﹣ ），

过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，

∴ ，

即 ，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴点B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5；

（求AB也可采用下面的方法）

设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（ ，0）代入得

k=﹣ ，b=10，

∴y=﹣ x+10，

∴ ，

∴ （舍去）， ，

∴B（6，2），

∴AB=5

（其它方法求出AB的长酌情给分）

在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED．

设OE=a，则AE=3 ﹣a（0＜a＜3 ），

由△ABE∽△OED得 ，

∴ = ，

∴m= a（3 ﹣a）=﹣ a2+ a（0＜a＜3 ），

∴顶点为（ ， ）

如答图3，

当m= 时，OE=a= ，此时E点有1个；

当0＜m＜ 时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．

∴当m= 时，E点只有1个

当0＜m＜ 时，E点有2个

方法二：

延长AB交x轴于F，过点F作FC⊥OA于点C．

∵∠BAE=∠AOD，

∴OF=AF，

∵FC⊥OA，

∴C为OA中点，

∵O（0，0），A（3，6），

∴C（ ，3），

KOA=2，

∵KOA×KPC=﹣1，

∴KPC=﹣ ，

∴lFC：y=﹣ x+ ，

当y=0时，x= ，即F（ ，0），

∴lAF：y=﹣ x+10，

∴ x1=3（舍），x2=6，

∴B（6，2），AB=5，

∵D（m，0），OD=m，

设AE=a，OE=3 ﹣a，

∠OED=∠ABE，

∴△ABE∽△OED，

∴ ，

∴ ，

∴a2﹣ a+5m=0，

∵E只有一个，

∴△=45﹣20m=0，

∴m= ，

∵E只有两个，

∴△=45﹣20m＞0，

即0＜m＜ 时，E有两个

【解析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度；（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即 =tan∠AOM=2为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=a，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式m=﹣ a2+ a（0＜a＜3 ），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，a的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．