Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E、F分别在边AB和边AC上，且∠EDF=90°，则下列结论一定成立的是_______

①△ADF≌△BDE

②S四边形AEDF=S△ABC

③BE+CF=AD

④EF=AD

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根据全等三角形性质和三角形中位线性质进行分析即可.

∵∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△ADF与△BDE中，

，
∴△ADF≌△BDE，
∴S△ADF=S△BDE，
∵S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE-S△ABD，
∵S△ABD=S△ABC，
∴S四边形AEDF=S△ABC，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AF+CF=AB>AD，
∵AD=BC，
当EF∥BC时，EF=BC，
而EF不一定平行于BC，
∴EF不一定等于BC，
∴EF≠AD，
故答案为：①②．