Question

【题目】如图，已知正方形ABCD中，以BF为底向正方形外侧作等腰直角三角形BEF，连接DF，取DF的中点G，连接EG，CG.

(1)如图1，当点A与点F重合时，猜想EG与CG的数量关系为　 　，EG与CG的位置关系为　 　，请证明你的结论.

(2)如图2，当点F在AB上（不与点A重合）时，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；如图3，点F在AB的左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？直接做出判断，不必说明理由.

(3)在图2中，若BC=4，BF=3，连接EC，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）EG=CG，EG⊥CG；（2）当点F在AB上（不与点A重合）时，（1）中结论仍然成立，理由见解析，点F在AB的左侧时，（1）中的结论仍然成立；（3）S△CEG=.

【解析】

（1）过E作EM⊥AD交AD的延长线于M，证明△AME是等腰直角三角形，得出AM=EM=AE=AB，证出DG=AG=AD=AM=EM，得出GM=CD，证明△GEM≌△CGD（SAS），得出EG=CG，∠EGM=∠GCD，证出∠CGE=180°-90°=90°，即可得出EG⊥CG；

（2）延长EG至H，使HG=EG，连接DH、CH、CE，证明△EFG≌△HDG（SAS），得出EF=HD，∠EFG=∠HDG，证明△CBE≌△CDH（SAS），得出CE=CH，∠BCE=∠DCH，得出∠ECH=∠BCD=90°，证明△ECH是等腰直角三角形，得出CG=EH=EG，EG⊥CG；延长EG至H，使HG=EG，连接DH、CH、CE，同理可证CG=EH=EG，EG⊥CG；

（3）作EM垂直于CB的延长线与M，先求出BM，EM的值，即可根据勾股定理求出CE的长度，从而求出CG的长，即可求出面积.

解：（1）EG=CG，EG⊥CG；理由如下：

过E作EM⊥AD交AD的延长线于M，如图1所示：

则∠M=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，

∴∠BAM=90°，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BAE=45°，AE=AB，

∴∠MAE=45°，

∴△AME是等腰直角三角形，

∴AM=EM=AE=AB，

∵G是DF的中点，

∴DG=AG=AD=AM=EM，

∴GM=CD，

在△GEM和△CGD中，

，

∴△GEM≌△CGD（SAS），

∴EG=CG，∠EGM=∠GCD，

∵∠GCD+∠DGC=90°，

∴∠EGM+∠DGC=90°，

∴∠CGE=180°-90°=90°，

∴EG⊥CG；

（2）当点F在AB上（不与点A重合）时，（1）中的结论仍然成立，理由如下：

延长EG至H，使HG=EG，连接DH、CH、CE，如图2所示：

∵G是DF的中点，

∴FG=DG，

在△EFG和△HDG中，，

∴△EFG≌△HDG（SAS），

∴EF=HD，∠EFG=∠HDG，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE，∠BFE=∠FBE=45°，

∴BE=DH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD，

∴∠AFD=∠CDG，

∴∠AFE=∠CDH=135°，

∵∠CBE=90°+45°=135°，

∴∠CBE=∠CDH，

在△CBE和△CDH中，

，

∴△CBE≌△CDH（SAS），

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，

∴∠ECH=∠BCD=90°，

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵EG=HG，

∴CG=EH=EG，EG⊥CG；

点F在AB的左侧时，（1）中的结论仍然成立，理由如下：

延长EG至H，使HG=EG，连接DH、CH、CE，如图3所示：

∵G是DF的中点，

∴FG=DG，

在△EFG和△HDG中，

，

∴△EFG≌△HDG（SAS），

∴EF=HD，∠EFG=∠HDG，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE，∠BEF=90°，

∴BE=DH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD，

∴∠BNF=∠CDG，

∵∠EFG+∠BNF+∠BEF+∠ABE=∠HDG+∠CDG+∠CDH=360°，

∴∠BEF+∠ABE=∠CDH，

∴∠ABC+∠ABE=∠CDH，即∠CBE=∠CDH，

在△CBE和△CDH中，

，

∴△CBE≌△CDH（SAS），

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，

∴∠ECH=∠BCD=90°，

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵EG=HG，

∴CG=EH=EG，EG⊥CG；

（3）如下图所示：作EM垂直于CB的延长线与M，

∵△BEF为等腰直角三角形，BF=3，

∴BE=，∠ABE=45°，

∵EM⊥BM，AB⊥CM，

∴∠EBM=45°，

∴△EMB为等腰直角三角形，

∴EM=BM=，

∵BC=4，

∴CM=，

∴CE=，

由（2）知，△GEC为等腰直角三角形，

∴CG=EG=，

∴S△CEG=.