Question

【题目】如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．

Answer 1

【答案】解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，
∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP∽△BOC，

∴=，即=，解得CP=1，
∴P（2，﹣1），
设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入解得k=﹣2，
∴过点P的双曲线解析式y=﹣，
②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP∽△COB，

在△OCP和△COB中，

∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，﹣4）
设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入得﹣4=，解得k=﹣8，
∴过点P的双曲线解析式y=．
综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=﹣或y=．
【解析】由直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．