Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是DC上一点，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合.

（1）指出旋转的中心和旋转的角度；

（2）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由.

（3）已知点G在BC上，且∠GAE=45°.

① 试说明GE=DE+BG.

② 若E是DC的中点，求BG的长.

Answer 1

【答案】（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是90°（2）△AEF是等腰直角三角形（3）①证明见解析② BG=

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，然后利用旋转的定义得到当△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合时，可确定旋转的中心和旋转的角度；

（2）由（1）得到△ADE绕着点A逆时针旋转90°后与△ABF重合，根据旋转的性质得∠FAE=90°，AF=AE，由此可判断△AEF是等腰直角三角形；

（3）①首先得出AG是线段EF的垂直平分线，进而得出DE+GB=BF+BG=GF，即可得出答案；

②首先设GB=x，则GC=2-x，GE=1+x．在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得1+（2-x）2=（1+x）2，求出x即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴当△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合时，旋转的中心是点A，旋转的角度是90°；

（2）△AEF是等腰三角形，理由：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，

∴△ADE≌△ABF，

∴AE=AF，

又∵∠EAF=90°，

∴△AEF是等腰三角形；

（3）①∵ ∠GAE=45°，∠EAF=90°，

∴ AG是∠EAF的平分线，

又∵ AF=AE，

∴ AG是线段EF的垂直平分线，

∴ GE=GF.

∵ DE=BF，

∴ DE+GB=BF+BG=GF，

∴ GE=DE+BG；

② ∵ E是DC的中点，

∴ DE=EC=FB=1，

设GB=x，则GC=2-x，GE=1+x，

在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得

1+(2-x)2=(1+x)2，

解这个方程，得x=，

即：BG=.