Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且DF=DC。

(1)求证：BD=AD；

(2)若AF=1，DC=3，求BF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BF=5

【解析】

(1)、根据AD⊥BC和AC⊥BE得出∠EBC+∠C=90° ，∠CAD+∠C=90°，从而得出∠CAD=∠EBC，结合DF=DC得出△ACD和△BFD全等，从而得出答案；(2)、根据全等得出AF=1，DC=3，DF=DC，BD=AD=4，最后根据Rt△ADC的勾股定理求出AC的长度，即BF的长度．

（1）证明：∵ AD⊥BC，

∴ △ACD和△BFD是直角三角形 (两边相互垂直的三角形是直角三角形)，∵ AC⊥BE，

∴ ∠BEC=90°，∴ ∠EBC+∠C=90°，∵ △ACD是直角三角形，

∴ ∠CAD+∠C=90° (直角三角形的两个锐角互余)，

∵ ∠EBC+∠C=90° ，∠CAD+∠C=90°，∴ ∠CAD=∠EBC，∴ △ACD≌△BFD(AAS)，

∴ BD=AD(全等三角形的对应边相等)，

(2)、由（1）得△ACD≌△BFD， ∴BD=AD，AD=AC(全等三角形的对应边相等)，

∵AF=1，DC=3，DF=DC， ∴BD=AD=4，又∵AD⊥BC，

∴AD2+DC2=AC2（勾股定理）， ∴BF=AC=5．