Question

【题目】如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（2 ﹣3）a≤DE≤ a
【解析】解：当B、D重合或C、E重合时DE长度最大，如图1，
∵∠BAE=30°，∠AEB=90°，
∴DE= AB= a，
当∠BAD=∠CAE=15°时，DE长度最小，如图2，
作AF⊥BC，且AF=AB，连接DF、CF，
∵AF⊥BC，
∴∠BAF=∠CAF=30°，
∵∠BAD=∠CAE=15°，
∴∠DAH=∠EAH=15°，
∴∠BAD=∠DAH，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ABD≌△ADF，
∴∠B=∠AFD，BD=DF，
∵∠AHB=∠DHF=90°，
∴△ABH∽△DFH，
AB：AH=DF：DH，
∴ = ，
∴ = ，
∴DH= ，其中BD+DH= a、AH= a，
∴DH= = a
∴DE=（2 ﹣3）a，
故DE长度的取值范围是（2 ﹣3）a≤DE≤ a．


【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．