Question

【题目】如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）

（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：
①求∠AFC的度数；
②求 的值；
（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

由题可得BD=CE=t．

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．

在△BDC和△CEA中，

，

∴△BDC≌△CEA，

∴∠BCD=∠CAE，

∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，

∴∠AFC=120°；

②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，

∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，

∴△FAG是等边三角形，

∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠GAF=∠BAC，

∴∠GAB=∠FAC．

在△AGB和△AFC中，

，

∴△AGB≌△AFC，

∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，

∴∠BGF=60°．

设AF=x，FC=y，

则有FG=AF=x，BG=CF=y．

在Rt△BHG中，

BH=BGsin∠BGH=BGsin60°= y，

GH=BGcos∠BGH=BGcos60°= y，

∴FH=FG﹣GH=x﹣ y．

在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2

=（ y）2+（x﹣ y）2=x2﹣xy+y2．

∴ = =1；

（2）解：过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，

由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6．

∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BEcosB= BE=6﹣t，

∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，

∴DN=EC．

∵△DEM是等边三角形，

∴DE=EM，∠DEM=60°．

∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴∠NDE=∠MEC．

在△DNE和△ECM中，

，

∴△DNE≌△ECM，

∴∠DNE=∠ECM=90°，

∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．

当t=3时，E在点B，D在AB的中点，

此时CM=EN=CD=BCsinB=6× =3 ；

当t=6时，E在点C，D在点A，

此时点M在点C．

∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3 ．

【解析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用三角函数可得BH= y，GH= y，从而有FH=x﹣ y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2 ， 代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．