Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】3或

【解析】

由∠C＝90°，BC＝2，AC＝2可得tanB＝，即∠B=30°，再根据直角三角形的性质可得AB＝2AC＝4；再由翻折的性质可得DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°；设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x．当∠AFB′＝90°时，解直角三角形可得EF＝x﹣；又由在Rt△B′EF中，∠EB′F＝30°，可得EB′＝2EF；再用x表示出来，然后解关于x的方程即可；②当∠AB′F＝90°时，即B′不落在C点处时，在进行求解即可．

解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，

∴tanB＝，

∴∠B＝30°，

∴AB＝2AC＝4，

∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F

∴DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，

设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，

当∠AFB′＝90°时，

在Rt△BDF中，cosB＝ ，

∴BF＝cos30°＝，

∴EF＝﹣（4﹣x）＝x﹣，

在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，

∴EB′＝2EF，

即4﹣x＝2（x﹣），解得x＝3，此时AE为3；

②当∠AB′F＝90°时，即B′不落在C点处时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，

∵DC＝DB′，AD＝AD，

∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，

∴AB′＝AC＝2，

∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，

∴∠EB′H＝60°，

在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（4﹣x），EH＝B′H＝（4﹣x），

在Rt△AEH中，

∵EH2+AH2＝AE2，

∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2＝x2，解得x＝ ，此时AE为．

综上所述，AE的长为3或．

故答案为3或．