Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（8，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤12），求S与t的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，t为何值时，S最大？并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（4，4），B（12，4）；（2）①0≤t≤4时，S＝t2；②当4＜t≤8时，S＝2t；③当8＜t≤12时，S＝﹣t2+6t；（3）当t＝8时，S最大＝16

【解析】

（1）过点A作AD⊥OC于D，根据菱形的性质可得OA＝AB＝BC＝CO＝8，然后根据锐角三角函数即可求出OD和AD，从而求出点A和点B的坐标；

（2）根据直线l与菱形相交的情况分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据锐角三角函数和三角形的面积公式计算即可；

（3）利用一次函数增减性和二次函数的增减性分别求出（2）中S的最值，最后取S的最大值即可．

解：（1）过点A作AD⊥OC于D，

∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为（8，0），

∴OA＝AB＝BC＝CO＝8．

∵∠AOC＝60°，

∴OD＝OA·cos∠AOD=4，AD＝OA·sin∠AOD=4．

∴A（4，4），B（12，4）；

（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：

①0≤t≤4时，直线l与OA、OC两边相交，（如图①）．

∵MN⊥OC，

∴ON＝t．

∴MN＝ONtan60°＝t．

∴S＝ONMN＝t2；

②当4＜t≤8时，直线l与AB、OC两边相交，（如图②）．

S＝ONMN＝×t×4＝2t；

③当8＜t≤12时，直线l与AB、BC两边相交，（如图③）．

设直线l与x轴交于点H．

∵MN＝4﹣（t﹣8）＝12﹣t，

∴S＝OHMN＝×t×（12﹣t）

＝﹣t2+6t；

（3）由（2）知，当0≤t≤4时，S＝t2中，＞0，对称轴为直线t=0

∴当t＞0时，S随t的增大而增大

∴S最大＝×42＝8，

当4＜t≤8时，S＝2t中，2＞0

∴S随t的增大而增大

∴S最大＝2×8=16，

当8＜t≤12时，S＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣6）2+18中，﹣＜0，对称轴为直线t=6

∴当t＞6时，S随t的增大而减小

∴当8＜t≤12时，S＜16

综上所述，当t＝8时，S最大＝16．