Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC= ．

（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD= S△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y4﹣4y2+3=0．
解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．
当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=﹣1．
当x2=3，即y2=3，∴y3= ，y4=﹣ ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=﹣1，y3= ，y4=﹣ ．
再如x2﹣2=4 ，可设y= ，用同样的方法也可求解．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB的垂直平分线为y轴，

∴OA=OB= AB= ×2=1，

∴A的坐标是（﹣1，0），B的坐标是（1，0）．

在直角△OBC中，OC= =2，

则C的坐标是：（0，2）；

（2）

解：设抛物线的解析式是：y=ax2+b，

根据题意得： ，

解得： ，

则抛物线的解析式是：y=﹣2x2+2；

（3）

解：∵S△ABC= ABOC= ×2×2=2，

∴S△ABD= S△ABC=1．

设D的纵坐标是m，则 AB|m|=1，

则m=±1．

当m=1时，﹣2x2+2=1，解得：x=± ，

当m=﹣1时，﹣2x2+2=﹣1，解得：x=± ，

则D的坐标是：（ ，1）或（﹣ ，1）或（ ，﹣1），或（﹣ ，﹣1）．

（4）

解：设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1﹣c，OB′=1+c．

平移以后的抛物线的解析式是：y=﹣2（x﹣c）2+2．

令x=0，解得y=﹣2c2+2．即OC′=﹣2c2+2．

当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′OB′，

则（﹣2c2+2）2=（1﹣c）（1+c），

即（4c2﹣3）（c2﹣1）=0，

解得：c= ，﹣ （舍去），1，﹣1（舍去）．

故平移 或1个单位长度．

【解析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OBC中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD= S△ABC ， 以及三角形的面积公式，即可求得D的纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′OB′，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值．
【考点精析】利用二次函数的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数．