Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE⊥CE，证明见解析；（2）成立，证明见解析

【解析】

试题（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1=∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AH⊥CG．

（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由图知∠AEB=∠CEH=90°-∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得证．

试题解析：（1）AE⊥GC；

证明：延长GC交AE于点H，

在正方形ABCD与正方形DEFG中，

AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，

DE=DG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠1=∠2；

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，

∴AE⊥GC．

（2）成立；

证明：延长AE和GC相交于点H，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，

∴∠1=∠2=90°-∠3；

∴△ADE≌△CDG，

∴∠5=∠4；

又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，

∴∠6=∠7，

又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，

∴∠CEH+∠7=90°，

∴∠EHC=90°，

∴AE⊥GC．