Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c．

（Ⅰ）若抛物线的顶点为A（﹣2，﹣4），抛物线经过点B（﹣4，0）

①求该抛物线的解析式；

②连接AB，把AB所在直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是直线l上一动点．

设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6≤S≤6+8时，求x的取值范围；

（Ⅱ）若a＞0，c＞1，当x=c时，y=0，当0＜x＜c时，y＞0，试比较ac与l的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①y=x2+4x②当4+6≤S≤6+8时，x的取值范围为是≤x≤或≤x≤（Ⅱ）ac≤1

【解析】

（I）①由抛物线的顶点为A（-2,-4）,可设抛物线的解析式为y=a（x+2）2-4,代入点B的坐标即可求出a值,此问得解,②根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式,进而可求出直线l的解析式,分点P在第二象限及点P在第四象限两种情况考虑：当点P在第二象限时,x＜0,通过分割图形求面积法结合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范围,当点P在第四象限时,x＞0,通过分割图形求面积法结合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范围,综上即可得出结论,（2）由当x=c时y=0,可得出b=-ac-1,由当0＜x＜c时y＞0,可得出抛物线的对称轴x=≥c,进而可得出b≤-2ac,结合b=-ac-1即可得出ac≤1．

（I）①设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣4，

∵抛物线经过点B（﹣4，0），

∴0=a（﹣4+2）2﹣4，

解得：a=1，

∴该抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣4=x2+4x．

②设直线AB的解析式为y=kx+m（k≠0），

将A（﹣2，﹣4）、B（﹣4，0）代入y=kx+m，

得：，解得：，

∴直线AB的解析式为y=﹣2x﹣8．

∵直线l与AB平行，且过原点，

∴直线l的解析式为y=﹣2x．

当点P在第二象限时，x＜0，如图所示．

S△POB=×4×（﹣2x）=﹣4x，S△AOB=×4×4=8，

∴S=S△POB+S△AOB=﹣4x+8（x＜0）．

∵4+6≤S≤6+8，

∴，即，

解得：≤x≤，

∴x的取值范围是≤x≤．

当点P′在第四象限时，x＞0，

过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，过点P′作P′F⊥x轴，垂足为点F，则

S四边形AEOP′=S梯形AEFP′﹣S△OFP′=（x+2）﹣x（2x）=4x+4．

∵S△ABE=×2×4=4，

∴S=S四边形AEOP′+S△ABE=4x+8（x＞0）．

∵4+6≤S≤6+8，

∴，即，

解得：≤x≤，

∴x的取值范围为≤x≤．

综上所述：当4+6≤S≤6+8时，x的取值范围为是≤x≤或≤x≤．

（II）ac≤1，理由如下：

∵当x=c时，y=0，

∴ac2+bc+c=0，

∵c＞1，

∴ac+b+1=0，b=﹣ac﹣1．

由x=c时，y=0，可知抛物线与x轴的一个交点为（c，0）．

把x=0代入y=ax2+bx+c，得y=c，

∴抛物线与y轴的交点为（0，c）．

∵a＞0，

∴抛物线开口向上．

∵当0＜x＜c时，y＞0，

∴抛物线的对称轴x=﹣≥c，

∴b≤﹣2ac．

∵b=﹣ac﹣1，

∴﹣ac﹣1≤﹣2ac，

∴ac≤1．