Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过O做EF∥BC分别交AB、AC于E、F.

（1）求证：EF=BE+CF.

（2）在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB相邻的外角的平分线相交于点O，过O做EF∥BC分别交AB、AC于E、F，请你画出图形（不要求尺规作图），并直接写出EF、BE、CF之间的关系.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析；EF=BE-CF

【解析】

（1）根据角平分线和平行线的性质分别证明∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，从而得出EO=BE,FO=CF,即可解决问题；

（2）根据角平分线的额作法步骤，分别作出∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为点O，

（1）证明：∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，

∴∠EBO=∠EOB，

∴EO=BE，

同理：FO=CF，

∴EO+FO=BE+CF，

即EF=BE+CF.

（2）以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA和BC与点M和点D；

分别以M和D为圆心，以大于MD的一半为半径作弧，交于点N，作射线BN，则射线BN即为∠ABC的角平分线；

同理作∠ACB外角的角平分线，两线交于点O，过点O作BC的平行线交AB与点E，交AC于点F.如图所示：

∵OE∥BC，

∴∠EOB=∠CBO,

∵BN是∠ABC的角平分线，

∴∠ABN=∠CBO,

∴∠ABN=∠EOB,

∴BE=OE,

∵OE∥BC，

∴∠OCK=∠FOC,

∵CU是∠ACK的角平分线，

∴∠OCK=∠FCO,

∴∠FCO=∠FOC,

∴FO=CF,

∴BE=EO=FO+EF=EF+CF,

∴EF=BE-CF