Question

【题目】已知A、B、C三点不在同一直线上.

（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

①如图①，当∠A=135°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长．

②如图②，当∠A为锐角时，求证： ；

（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠BOC=90°，BC=，②证明见解析；（2）在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变，理由见解析．

【解析】试题分析：（1）①根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因为∠A=135°，所以优弧所对的角∠BOC=270°，所以劣弧BC所对的∠BOC=90°，再由勾股定理计算出BC的长度；②延长CO交O于点E，连接BE，所以∠A=∠E，因为CE为0的直径，得出∠CBE=90°，所以sinA=sinE==；（2）连接AP，取AP的中点K，分别连接CK、BK，由于BP⊥AM，CP⊥AN，作KH⊥BC交BC于点H，根据直角三角形我们斜边上的中线等于斜边的一半，得CK=BK=AK=PK，即点A、B、P、C在以K为圆心， AP为半径的圆上，当定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图，当∠MAN=60时，∠BKC=120，BC=2，即△BKC是一个顶角为120°，底边BC=2的等腰三角形，不难求出CK=BK=AP=，即AP=，所以在整个滑动过程中，P、A两点间的距离保持不变．

试题解析：

解（1）①根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∵∠A=135°，

∴优弧所对的角∠BOC=270°，

∴劣弧BC所对的∠BOC=90°；

在Rt△BOC中，由勾股定理可知BC==.

②

证明：如图所示，延长CO交O于点E，连接BE，

∴∠A=∠E，

∵CE为0的直径，

∴∠CBE=90°，

∴sinA=sinE==.

（2）

连接AP，取AP的中点K，分别连接CK、BK，作KH⊥BC交BC于点H，

∵BP⊥AM，CP⊥AN，K是AP的中点，

∴CK=BK=AK=PK，

∴点A、B、P、C在以K为圆心， AP为半径的圆上，

∵∠MAN=60，

∴∠BKC=120，

∴∠KBC=30°，

∵BC=2，

∴BH=CH=，

∵cos30°==，

∴BK=，

∴CK=BK=AP=，即AP=.

所以在整个滑动过程中，P、A两点间的距离保持不变．