【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P为BC边上的一个动点(不与点B,C重合).点P关于直线AC,AB的对称点分别为M,N,连接MN交AC于点E,交AB于点F.

(1)当点P为线段BC的中点时,求∠M的正切值.

(2)当点P在线段BC上运动时(不与B,C重合),连接AM,AN,求证:

①△AMN为等腰直角三角形;

②△AEF∽△BAM.

参考答案：

【答案】(1)；(2)①见解析;②见解析.

【解析】

（1）连接NB，根据对称的性质可证明BP=BN，进而证明∠MBN=90°，根据P为中点可证明MC=CP=PB=NB=1，求出∠M的正切值即可；（2）①如图：连接AP，根据对称性质可知AP=AM=AN，∠1=∠2,∠3=∠4，由∠CAB=∠2+∠3=45°证明∠MAN=90即可；②由∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1，∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1，可知∠AEF=∠BAM，再根据∠B==∠EAF=45°，即可证明△AEF∽△BAM.

(1)连接NB.

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,

∴△ACB为等腰直角三角形,

∴∠A=∠CBA=45°.

∵点P关于直线AB的对称点为N,关于直线AC的对称点为M,

∴AB垂直PN,BN=BP,

∴∠NBA=∠PBA=45°，

∴∠PBN=90°,

∵P为BC的中点,BC=2,∴MC=CP=PB=NB=1,

∴tan ∠M=.

(2)①连接AP,如图.

∵点P关于直线AC,AB的对称点分别为M,N,

∴AP=AM=AN，∠1=∠2,∠3=∠4,

∵∠CAB=∠2+∠3=45°，

∴∠MAN=90°,

∴△AMN为等腰直角三角形.

②∵△AMN为等腰直角三角形,

∴∠5=∠6=45°,

∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1,

∵∠EAF=45°，

∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1,

∴∠AEF=∠BAM,

又∵∠B=∠BAC=45°，

∴△AEF∽△BAM.

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