Question

【题目】如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=的图象交于点A，B，点B的横坐标实数4，点P（1，m）在反比例函数y1=的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；

（3）求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的表达式为y=；（2）x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2；（3）△PAB的面积为15．

【解析】

（1）利用一次函数求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的表达式即可；

（2）观察图象可知，反函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解；

（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，则S△AOP=S△BOP，即S△PAB=2S△AOP，再求出点P的坐标，利用待定系数法求得直线AP的函数解析式，得到点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC，即可求得结果.

（1）将x=4代入y2=得：y=1，

∴B（4，1），

∴k=xy=4×1=4，

∴反比例函数的表达式为y=；

（2）由正比例函数和反比例函数的对称性可知点A的横坐标为﹣4．

∵y1＞y2，

∴反比例函数图象位于正比例函数图象上方，

∴x＜﹣4或0＜x＜4；

（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，

设AP与y轴交于点C，如图，

∵点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP，

y1=中，当x=1时，y=4，

∴P（1，4），

设直线AP的函数关系式为y=mx+n，

把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

得，

解得m=3，n=1，

故直线AP的函数关系式为y=x+3，

则点C的坐标（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

=OCAR+OCPS

=×3×4+×3×1

=，

∴S△PAB=2S△AOP=15．