Question

【题目】在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于△ABM的友好正方形”．

（1）图2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在图中画出⊙A的“关于△ABM的友好正方形ABCD”．

（2）若点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．

（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．

【解析】

（1）BA＝BM，∠ABM＝90°，则圆的半径AM＝AB＝AC，故点C在圆上，即可求解；

（2）分a＝2、a＞2、a＜2三种情况，分别探究即可求解；

（3）分m＝1、0＜m＜1、m＝0、m＜0、m＞1五种情况，通过画图探究即可求解．

（1）∵BA＝BM，∠ABM＝90°，

∴圆的半径AM＝AB＝AC，故点C在圆上，补全图形如图1，

（2）设A（2，a），

当a＝2时，正方形ABCD 的顶点C恰好落在⊙A上（如图2）；

当a＞2时，正方形ABCD 的顶点均落在⊙A内部（如图3）；

当a＜2时，正方形ABCD 的顶点C落在⊙A外部（如图4）；

∵反比例函数过点，

∴当a≥2时，则k≥4，

∴k的取值范围为：k≥4；

（3）当m＝1时，正方形ABCD 的顶点C恰好落在⊙A上（如图5）；

当0＜m＜1时，正方形ABCD 均落在⊙A内部（如图6）；

当m＝0时，△ABO 不存在；

当m＜0时，正方形ABCD 均落在⊙A内部（如图7）；

当m＞1时，正方形ABCD 的顶点C落在⊙A外部（如图8），（当m＝2时△ABO不存在）；

综上分析，点A的横坐标m的取值范围为：0＜m≤1或m＜0．