Question

【题目】△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD．作射线BD，点C关于射线BD的对称点为点E．连接AE，CE．

（1）依题意补全图形；

（2）若α＝20°，直接写出∠AEC的度数；

（3）写出一个α的值，使AE＝时，线段CE的长为﹣1，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠AEC＝135°；（3）α＝30°，证明见解析

【解析】

（1）作CF⊥BD并延长CF到E使EF＝CF，如图1，

（2）连结BE，如图2，利用对称的性质得BE＝BC，则BC＝BE＝BA，则根据等腰三角形的性质得出∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，由四边形的内角和可计算出∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°，进而得到2（∠BEC+∠BEA）＝270°，即可证得∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°；

（3）如图2，先证明△AGE为等腰直角三角形，则AG＝GE＝1，当α＝30°时，则∠EBC＝30°，进而求得∠ACG＝30°，解直角三角形求得CG＝，即可证得CE＝CG﹣EG＝﹣1．

解：（1）如图1，

（2）∠AEC＝135°，

证明：过A作AG⊥CE于G．连接AC、BE，如图2，

由题意，BC＝BE＝BA，

∴∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，

∵∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°

∵∠ABC＝90°，

∴2（∠BEC+∠BEA）＝270°，

∴∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°，

（3）α＝30°，

证明：∵∠AEC＝135°，

∴∠AEG＝45°，

∵AE＝，

∴AG＝GE＝1，

当α＝30°时，

∴∠EBC＝30°，

∵BC＝BE，

∴∠BCG＝75°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠ACG＝30°，

∴，

∴．