Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF= PC；④PE+PF=PC．其中正确的是 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：如图1，

∵正方形ABCD，E，F均为中点，

∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF= DC，

∵在△ADF和△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠AFD=∠DEC

∵∠DEC+∠CDE=90°

∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF

∴AF⊥DE，∴①正确；

如图2，

过B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，

∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中点，

∴BG⊥AP，G是AD的中点，

∴BG是AP的垂直平分线，

∴△ABP是等腰三角形

∴BP=AB=AD，∴②正确；

如图3，

延长DE至N，使得EN=PF，连接CN，

∵∠AFD=∠DEC

∴∠CEN=∠CFP

又∵E，F分别是BC，DC的中点，

∴CE=CF，

∵在△CEN和△CFP中， ，

∴△CEN≌△CFP（SAS），

∴CN=CP，∠ECN=∠PCF，

∵∠PCF+∠BCP=90°

∴∠ECN+∠BCP=∠NCP=90°

∴△NCP是等腰直角三角形

∴PN=PE+NE=PE+PF= PC，∴③正确，④错误；

∴①②③正确．

所以答案是：①②③．

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．