Question

【题目】已知：点、、不在同一条直线上，.

（1）如图1，当，时，求的度数；

（2）如图2，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系；

（3）如图3，在（2）的前提下，有，，直接写出的值.

Answer 1

【答案】(1)∠ACB＝120°；(2)2∠AQB+∠C＝180°；(3)∠DAC：∠ACB：∠CBE＝1：2：2．

【解析】

（1）首先过C作AD的平行线CE，再根据平行的性质计算即可.

（2）首先过点Q作QM∥AD，再根据已知平行线的性质即可，计算的2∠AQB+∠C＝180°.

（3）根据平行线的性质和角平分线的性质首先计算出∠DAC、∠ACB、∠CBE，再根据角的度数求比值.

(1)在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，

∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣(∠B﹣∠A)＝120°．

(2)在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，

∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝(∠CBE﹣∠CAD)．

∵∠C＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180°﹣2∠AQB，

∴2∠AQB+∠C＝180°．

(3)∵AC∥QB，

∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，

∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．

∵2∠AQB+∠ACB＝180°，

∴∠CAD＝∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，

∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，

∴∠ACB＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120°，

∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．