Question

【题目】如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA= ，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接OE．

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∵BE是∠ABC的角平分线

∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C=90°

∴∠AEO=∠C=90°

∴AC是⊙O的切线

（2）

解：连接OF．

∵sinA= ，∴∠A=30°

∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，

∴AE=4 ，∠AOE=60°，∴AB=12，

∴BC= AB=6，AC=6 ，

∴CE=AC﹣AE=2 ．

∵OB=OF，∠ABC=60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∴∠EOF=60°．

∴S梯形OECF= （2+4）×2 =6 ．

S扇形EOF= =

∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6 ﹣

【解析】（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线． （2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF求解即可．