Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接CE，连接DE交AC于F，AD＝4，AB＝6.

(1)求证：△ADC∽△ACB；

(2)求AC的值；

(3)求的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；

（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可；

（3）根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到CE=AE，证明△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质解答即可．

（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB；

（2）解：∵△ADC∽△ACB，

∴，即AC2=ADAB=24，

解得，AC=2；

（3）解：∵E为AB的中点，

∴CE=AB=AE，

∴∠EAC=∠ECA；

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

∴△AFD∽△CFE，

∴，

∵CE=AB=3，AD=4，

∴，

∴．