Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为(0，a)(b，0)、(b，c)，其中a，b，c满足关系式(3a－2b)2＋＝0，|c－4|≥0．

⑴求a，b，c的值；

⑵如果在第二象限内有一点P(m－1，1)，请用含m的代数式表示△AOP的面积；

⑶在⑵的条件下，m在什么范围取值时，△AOP的面积不大于△ABC的面积？请求出在符合条件的前提下、△AOP的面积最大时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）∴a＝2，b＝3，c＝4； （2）S△AOP＝1－m；（3）P点的坐标为(－6，1).

【解析】（1）由非负数性质定理可得，解方程组可得a,b,c；

（2）结合点A,P,O的坐标，根据三角形面积公式可得到S△AOP＝1－m；

（3）分别用式子表示两个三角形的面积，再利用“△AOP的面积不大于△ABC的面积”和点P在第二象限，列出不等式，可求得m的取值范围，再根据题意确定m=-5时，△AOP的面积最大，及点P的坐标．

且c－4=0，

∴a＝2，b＝3，c＝4；

⑵S△AOP＝1－m；

⑶由⑴得，B(3，0)，C(3，4)，

∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3，

∴S△ABC＝×3×4＝6，

∵△AOP的面积不大于△ABC的面积，S△AOP＝1－m，

∴S△AOP≤S△ABC，S△AOP＝1－m，

∴1－m≤6，解得m≥－5，①

∵点P(m－1，1)在第二象限内，

∴m－1＜0∴m＜1②

∴由①、②可知，－5≤m＜1

当－5≤m＜1时，△AOP的面积不大于△ABC的面积．

∵S△AOP＝1－m，－5≤m＜1

∴当m＝－5时，此时△AOP的面积最大，S△AOP＝1－m＝6，

∴P点的坐标为(－6，1).