Question

【题目】若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图像经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当
2≤x≤3时，y2的最小值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由“同族二次函数的定义”可知： 和 是一对“同族二次函数”（答案不唯一）；
（2）解：∵ 的图象过点A（1，1），

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴ 的顶点坐标为（1，1），且 ，

∵ 与 是“同族二次函数”，

∴ 的顶点坐标也为（1，1），

∴ ，解得： ，

∴ ，

又∵ 在对称轴 的右侧，

∴当 时， 2最小=5.

【解析】（1）在写函数式时，抓住若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”，即可写出函数解析式。
（2）先将点A的坐标代入y1求出y1的函数解析式，再求出y1的顶点坐标，求出y1+y2与x的函数解析式，再将（1，1）代入y1+y2与x的函数解析式，建立方程，再根据对称轴x=1建立方程，求出a、b的值，即可写出 y 2 与x的函数解析式，再根据2 ≤ x ≤ 3及二次函数的增减性求出y2的最小值.。
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．