Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE．

(1)如图1，求证：AD∥BC

(2)若∠DAE和∠DCE的角平分线相交于点F．如图2，若∠BAE=80°，求∠F的度数

(3)如图3，∠DCE的角平分线的平分线交AE于点G,连接AC,若∠BAC=∠DAE，∠AGC=3∠CAE，则∠CAE的度数为________（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠F=50°；（3）36°．

【解析】

（1）根据平行线的性质得：∠B=∠DCE，由于∠B=∠D，得∠D=∠DCE，根据平行线的判定，可得结论；
（2）如图，设∠DAF=∠EAF=α，∠DCF=∠ECF=β，根据平行线的性质列等式可得结论；
（3）如图3，设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180①，△ACG中，x+2x+y+z=180，变形后相减可得结论．

解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
而∠B=∠D，
∴∠D=∠DCE，
∴AD∥BC；
（2）如下图，
设∠DAF=∠EAF=α，∠DCF=∠ECF=β，

∵AD∥BC，
∴∠D=∠DCE=2β，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠EAD+∠D=180°，
∵∠BAE=80°
∴80+2α+2β=180
整理得：α+β=50°，
∵∠DHF=∠DAH+∠D=∠DCF+∠F
即：α+2β=∠F+β，
∴∠F=α+β=50°；
（3）如图3，设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，

则∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=2∠CAE=2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180①，
△ACG中，x+2x+y+z=180，
3x+y+z=180，
6x+2y+2z=360②，
②-①得：5x=180，
x=36°，
∴∠CAE=36°．