Question

【题目】如图，∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD、AB的延长线相交于点M，连接MC．

(1)求证：∠FMC＝∠FCM；

(2)将条件中的AD⊥DE与(1)中的结论互换，其他条件不变，命题是否正确？请给出理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）(2)正确．理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质，得出DF⊥AE，DF=AF=EF，再证明△DFC≌△AFM，得出FC=FM；

（2）根据等腰三角形的判定，得出FM＝FC，再根据等腰三角形的性质，可得MF⊥AC，进而证得△AMF≌△DCF(ASA)，最后由全等三角形的性质和直角的关系可证.

(1)证明：∵AD＝DE，点F是AE的中点，

∴MF⊥AC，∴∠AMF＋∠MAF＝90°.

∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＋∠MAF＝90°，

∴∠AMF＝∠ACB.

∵AD⊥DE，AD＝DE，

∴△ADE为等腰直角三角形，∠DAF＝45°.

又∵MF⊥AC，∴∠DFA＝90°，

∴∠ADF＝180°－∠DFA－∠DAF＝45°，

∴∠ADF＝∠DAF，∴FA＝FD.

在△FAM和△FDC中，

∠AMF=∠DCF，∠AFM=∠DFC，FA＝FD，

∴△FAM≌△FDC(AAS)，

∴FM＝FC，∴∠FMC＝∠FCM.

(2)解：正确．理由如下：∵∠FMC＝∠FCM，∴FM＝FC.

∵AD＝DE，点F是AE的中点，∴MF⊥AC，

∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∠AMF＋∠MAC＝90°.

又∵∠MAC＋∠DCF＝90°，

∴∠AMF＝∠DCF.

在△AMF和△DCF中，

∠AMF＝∠DCF，FM＝FC，∠AFM＝∠DFC，

∴△AMF≌△DCF(ASA)，

∴AF＝DF.

又∵∠AFD＝90°，∴∠DAF＝∠ADF＝45°.

又∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAF＝45°，

∴∠ADE＝180°－∠DAF－∠DEA＝90°，

∴AD⊥DE.