Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1 ， 连接AD1、BC1 ． 若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分面积为S，则下列结论：
①△A1AD1≌△CC1B；
②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；
③当x=2时，△BDD1为等边三角形；
④S= （x﹣2）2（0≤x≤2）．
其中正确的是（将所有正确答案的序号都填写在横线上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1 ，
∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1 ，
在△A1AD1与△CC1B中，

故①正确；
②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC1=1，
∴△AC1B是等边三角形，
∴AB=D1C1 ，
又AB∥D1C1 ，
∴四边形ABC1D1是菱形，
故②正确；
③如图所示：

则可得BD=DD1=BD1=2，
∴△BDD1为等边三角形，故③正确．
④易得△AC1F∽△ACD，
∴ ，
解得： = （0＜x＜2）；故④错误；
综上可得正确的是①②③．
所以答案是：①②③．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)，还要掌握平移的性质(①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等)的相关知识才是答题的关键．