Question

【题目】已知 CD 是经过∠BCA 顶点 C 的一条直线，CA＝CB．E、F 分别是直线 CD 上两点（不 重合），且∠BEC＝∠CFA＝∠a

(1)若直线 CD 经过∠BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面问题：

①若∠BCA＝90°，∠a＝90°，请在图 1 中补全图形，并证明：BE＝CF，EF＝；

②如图 2，若 0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠a 与∠BCA 关系的条件 ， 使①中的两个结论仍然成立；

(2)如图 3，若直线 CD 经过∠BCA 的外部，∠a＝∠BCA，请写出 EF、BE、AF 三条线 段数量关系（不要求证明）．

Answer 1

【答案】(1)①见解析；②添加条件：∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立，证明见解析；（2）EF=BE+AF．.

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；

②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

（1）①如图1中，

E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，

∴∠BEC=∠AFC=90°，

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.

证明：如图2中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

（2）EF=BE+AF．.