Question

【题目】如图所示，∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．

（1）求证：△AFD为等腰三角形；

（2）若DF＝10cm，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝5cm．

【解析】

（1）利用平行线和角平分线的性质，证得等角，利用等角对等边这一判定定理证明△AFD为等腰三角形．

（2）AD是角平分线，易证∠GFD＝30°，又△GFD是直角三角形，所以30°锐角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，求出DE＝5．

（1）证明：

如图所示，

∵DF∥AC，

∴∠3＝∠2，

∵AD是角平分线，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴FD＝FA，

∴△AFD为等腰三角形．

（2）

如图，过D作DG⊥AB，垂足为G，

∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠BAC＝30°，

∴∠1＝15°，

又∵∠1＝∠3，

∴∠1＝∠3＝15°，

∴∠GFD＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°，

在Rt△FDG中，DF＝10cm，∠GFD＝30°，

∴DG＝5cm，

∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，

∴DE＝DG＝5cm．