Question

【题目】在中，，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点，移动的速度相同，与相交于点.

(1)如图1，过点作，交于点，求证：；

(2)如图2，，当点移动到的中点时，求的长度；

(3)如图3，过点作于点.在点从点向点(点不与点，重合)移动的过程中，线段与的长度是否保持不变若保持不变，请求出与的长度和；若改变，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)的长度为；(3)与的长度和保持不变，和为4.

【解析】

（1）由平行的性质和等腰三角形的性质进行等边和等角转换，即可判定；

（2）由（1）的结论和等边三角形的性质，通过等量转换即可得解；

（3）首先过点作，由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，即可求得与的长度保持不变．

(1)∵点，同时移动且移动的速度相同，

，

，

又，

，，

，

，

.

与相交于点，

，

在和中，，

（AAS）；

(2)过点作，交于点，如图所示：

，，

是等边三角形，

，

，

是等边三角形，

.

是的中点，

，

.

由(1)易得，

，

，

的长度为；

(3)保持不变；

过点作，交于点，如图所示：

由(1)易得，，

，是等腰三角形.

，

是的中线，

，

，

与的长度和保持不变.