Question

【题目】如图，在长方形ABCD中，AB＝6厘米，AD＝8厘米．延长BC到点E，使CE＝3厘米，连接DE．动点P从B点出发，以2厘米/秒的速度向终点C匀速运动，连接DP．设运动时间为t秒，解答下列问题：

(1)当t为何值时，△PCD为等腰直角三角形？

(2)设△PCD的面积为S(平方厘米)，试确定S与t的关系式；

(3)当t为何值时，△PCD的面积为长方形ABCD面积的？

(4)若动点P从点B出发，以2厘米/秒的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，是否存在某一时刻t，使△ABP和△DCE全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)t＝1秒；(2)S＝﹣6t+24(0≤t≤4)；(3)t＝2秒；(4)t＝秒或秒时，△ABP和△DCE全等．

【解析】

（1）用含t的式子表示PC，再根据△CDP是等腰直角三角形得到CP＝CD＝6，解出t即可；（2）利用S△PCD＝CP×CD即可求解；（3）根据面积的关系即可列式求解；（4）根据对应点不同分两种情况讨论即可求解.

(1)在长方形ABCD中，AB＝6厘米，AD＝8厘米，

∴BC＝AD＝8cm，CD＝AB＝6cm，∠DCB＝∠DCE＝90°，

由运动知，BP＝2t，

∴PC＝BC﹣BP＝8﹣2t，

∴△CDP是等腰直角三角形，

∴CP＝CD＝6，

∴8﹣2t＝6，

∴t＝1秒，

(2)由(1)知，PC＝8﹣2t，

∴S＝S△PCD＝CP×CD＝(8﹣2t)×6＝﹣6t+24(0≤t≤4)；

(3)∵AB＝6，AD＝8，

∴S长方形ABCD＝6×8＝48cm2，

由(2)知，S＝﹣6t+24(0≤t≤4)，

∵△PCD的面积为长方形ABCD面积的，

∴﹣6t+24＝×48，

∴t＝2秒，

(4)在△ABP中，AB＝6cm，在△CDE中，CD＝6cm，

∴AB＝CD，

∵△ABP和△DCE全等，

∴△ABP≌△DCE或△ABP≌△CDE，

当△ABP≌△DCE时，BP＝CE＝3，

∴2t＝3，

∴t＝，

当△ABP≌△CDE时，AP＝CE＝3，

∴8+6+8﹣2t＝3，

∴t＝，

即：t＝秒或秒时，△ABP和△DCE全等．