Question

【题目】阅读理（解析）

提出问题：如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

当AP＝AD时(如图2)：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD，

∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等

∴S△CDP＝S△CDA，

∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA，

＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)＝S△DBC+S△ABC.

(1)当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式并证明；

(2)当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　 　；

(3)一般地，当AP＝AD(n表示正整数)时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系为：　 　；

(4)当AP＝AD(0≤≤1)时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　 　．

Answer 1

【答案】(1)S△PBC＝S△DBC+S△ABC，证明见解析；(2)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；(3)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；(4)S△PBC＝S△DBC+S△ABC．

【解析】

（1）根据题中的方法进行求解即可；（2）由（1）即可得到；（3）方法同（1），进行求解；（4）利用（3）中的结论即可求解.

(1)∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD．

又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA．

∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP

＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA

＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)

＝S△DBC+S△ABC．

∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC

(2)由(1)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC；

(3)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD．

又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA

∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP

＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA

＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)

＝S△DBC+S△ABC．

∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC

(4)由(3)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC．