Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=2x﹣1，与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2-x-1；（2）P点坐标为（1-，1-）或（1+，1+）.

【解析】试题分析：本题主要考查二次函数的应用。

（1）由两直线解析式求出B点坐标，由题意B、C关于原点对称求出C坐标，再由y=2x-1与y轴交于点A，求出点A的坐标，即可用待定系数法确定二次函数解析式。

（2）①先由点P在抛物线上，设出点P的坐标。根据菱形的性质可知对角线垂直，则可得PQ所在直线的解析式，把点P代入该直线解析式可得点P的坐标。

解：（1）联立两直线解析式可得，解得 ，
∴B点坐标为（-1，1），
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为（1，-1），
∵直线y=-2x-1与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，-1），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2-x-1；

（2）当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，
∵直线BC解析式为y=-x，
∴直线PQ解析式为y=x，
联立抛物线解析式可得，解得或 ，
∴P点坐标为（1-，1-）或（1+，1+）.