Question

【题目】如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD

∴OA=OD=OC=OB

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=15°.

∴∠CAE=15°，

∴∠DAC=30°.

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠DAC=30°.

∴∠DOC=60°.

∵OD=OC，

∴△ODC是等边三角形.

∴①正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°.

∴∠DAC=∠ACB=30°.

∴AC=2AB.

∵AC＞BC，

∴2AB＞BC.

∴②错误；

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB=30°.

∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，

∴∠DAE=∠BAE=45°.

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∴∠AEB=∠BAE，

∴AB=BE.

∴四边形ABCD是矩形.

∴∠DOC=60°，DC=AB，

∵△DOC是等边三角形，

∴DC=OD.

∴BE=BO.

∴∠BOE=75°，

∵∠AOB=∠DOC=60°，

∴∠AOE=135°.

∴③正确；

∵OA=OC，

∴根据等底等高的三角形面积相等可知S△AOE=S△COE

∴④正确

故正确答案是C.