Question

【题目】在平面直角坐标系中，给出如下定义：形如y=（x﹣m）（x﹣m+1）与y=（x﹣m）（x﹣m﹣1）的两个二次函数的图象叫做兄弟抛物线．

（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式．

（2）若二次函数y=x2﹣x（图象如图）与y=x2﹣bx+2的图象是兄弟抛物线．

①求b的值．

②若直线y=k与这对兄弟抛物线有四个交点，从左往右依次为A，B，C，D四个点，若点B，点C为线段AD三等分点，求线段BC的长．

Answer 1

【答案】（1）将m=0代入y=（x﹣m）（x﹣m+1）与y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），即可得到一对兄弟抛物线

（2）①y=x2﹣x=x（x﹣1）．分两种情况讨论：

情况一：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m+1），求出m=1，得到另一个函数解析式，进而得出b的值；

情况二：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），同理求解；

【解析】试题分析：（1）将m=0代入y=（x﹣m）（x﹣m+1）与y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），即可得到一对兄弟抛物线；

（2）①y=x2﹣x=x（x﹣1）．分两种情况讨论：

情况一：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m+1），求出m=1，得到另一个函数解析式，进而得出b的值；

情况二：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），同理求解；

②根据平移的规律可知，y=x2﹣3x+2的图象可以看作是由y=x2﹣x的图象向右平移1个单位得到，分两种情况：如果k＞0，则点A与点B是平移对应点，AB=1，再根据三等分点的定义即可求解；如果k＜0，则点A与点C是平移对应点，AC=1，同理求解即可．

试题解析：

（1）当m=0时，得到一对兄弟抛物线，

y=x（x+1）与y=x（x﹣1）；

（2）①y=x2﹣x=x（x﹣1）．

情况一：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m+1），则m=1，则另一个函数为y=（x﹣1）（x﹣2），即y=x2﹣3x+2，b=3．

情况二：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），则m=0，则另一个函数为y=x（x﹣1），即y=x2﹣x，与已知矛盾．

②y=x2﹣3x+2的图象可以看作是由y=x2﹣x的图象向右平移1个单位得到，如图．

如果k＞0，则点A与点B是平移对应点，AB=1，

∵点B，点C为线段AD三等分点，

∴AB=BC=CD=AD=1，即BC=1；

如果k＜0，则点A与点C是平移对应点，AC=1，

∵点B，点C为线段AD三等分点，

∴AB=BC=AC=，即BC=．

故线段BC的长为1或．