Question

【题目】已知，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8.动点P从点A出发沿A—B—C的方向以每秒2个单位的速度运动.设P的运动时间为t（秒）.

（1）请直接用含t的代数式表示①当点P在AB上时，BP= ；②当点P在BC上时，BP= ；

（2）求△BPC为等腰三角形的t值.

(备用图)

Answer 1

【答案】（1）10-2t，2t-10；（2）t=2.5或2或1.4．

【解析】

（1）由勾股定理求出AB的长，①当点P在AB上时，BP= AB-AP，②当点P在BC上时，BP=2t－AB，即可得出结论；

（2）分三种情况讨论：①作BC的垂直平分线交AB于点P，交BC于点E．连接PC，则△BPC是等腰三角形；②以B为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．连接PC，则△BPC是等腰三角形；③以C为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．过C作CD⊥AB于D，连接PC，则△BPC是等腰三角形．分别计算即可．

（1）①∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，BP=AB-AP=10－2t；

②BP=2t－AB=2t－10；

（2）分三种情况讨论：①如图1，作BC的垂直平分线交AB于点P，交BC于点E．连接PC，则△BPC是等腰三角形．

∵∠C=90°，∴PE∥AC．

∵BE=EC，∴AP=PB=AB=5，∴t=5÷2=2.5；

②如图2，以B为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．连接PC，则△BPC是等腰三角形．

∵PB=BC=6，∴AP=AB－BP=10－6=4，t=4÷2=2；

③如图3，以C为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．过C作CD⊥AB于D，连接PC，则△BPC是等腰三角形．

∵ACBC=ABCD，∴CD==4.8，∴BD==3.6．

∵∵PC=BC=6，∴PD=BD=3.6，∴AP=AB－BP=10－7.2=2.8，t=2.8÷2=1.4．

综上所述：t=2.5或2或1.4．