Question

【题目】阅读下列材料：

已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．

求证：∠BED =∠B+∠D.

图1

小冰是这样做的：

证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠B．

∵AB∥CD，∴EF∥CD．

∴∠FED=∠D．

∴∠BEF +∠FED =∠B+∠D．

即∠BED=∠B+∠D．

请利用材料中的结论，完成下面的问题：

已知：直线 AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．

（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；

（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1 E+∠G2=180°．

Answer 1

【答案】（1）猜想：∠EGF=90°．证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（2）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．

（1）猜想：∠EGF=90°．

证明：∵ EG，FG分别平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF =2∠BEG，∠EFD=2∠GFD．

∵BE//CF，

∴∠BEF +∠EFD=180°．

∴2∠BEG+2∠GFD=180°．

∴∠BEG+∠GFD=90°．

∵由小冰的结论可得∠EGF =∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF=90°．

（2）证明：过点G1作G1H//AB，

∵AB//CD，

∴G1H//CD．

∴∠3=∠G2FD．

∵由小冰的结论可得∠G2 =∠1+∠3，

∵FG2平分∠EFD，

∴∠4=∠G2FD．

∵∠1=∠2，

∴∠G2=∠2+∠4．

∵由小冰的结论可得∠EG1F =∠BEG1+∠G1FD，

∴∠EG1F +∠G2 =∠BEG1+∠G1FD+∠2+∠4

=∠BEF+∠EFD

=180°．